Introduzione
La prova di matematica dell'esame di Stato 2025 nei licei scientifici ha previsto due problemi e un questionario con otto quesiti. Ogni studente ha dovuto scegliere un problema e 4 quesiti a cui rispondere. Il primo problema è stato basato su una citazione di Cartesio (“La ragione non è nulla senza l’immaginazione”), e ha unito l'analisi e la geometria, studiando una circonferenza. Il secondo si è aperto con una frase attribuita a Platone (“La bellezza è mescolare, in giuste proporzioni, il finito e l’infinito”), e ha richiesto di esplorare funzioni polinomiali ed esponenziali. Tra i quesiti, ci sono stati anche riferimenti culturali a Cicerone, per un problema di probabilità legato al “colpo di Venere”, e a Boccioni, con un’analisi ispirata alla sua opera futurista Forme uniche della continuità nello spazio.
Quello che devi sapere
Il primo problema allo Scientifico
Nel primo problema posto ai candidati dello Scientifico al punto a) fornisce una circonferenza con raggio parametrico e una funzione con parametro. Viene richiesto di verificare la continuità e non derivabilità della funzione nell'origine, abbastanza immediato dal momento che si tratta di una trasformazione elementare della funzione modulo. Viene poi richiesto di determinare i valori dei parametri in modo che il grafico della funzione e della circonferenza identifichino un settore circolare con area e contorno assegnati: si dovrà quindi imporre le condizioni sull'area e sul contorno in funzione del raggio della circonferenza e del parametro di trasformazione della funzione, più ostico della prima parte. Infine si richiede di disegnare nel piano cartesiano la funzione e la circonferenza per valori assegnati, e questo è ritenuto dagli esperti abbastanza semplice.
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Il punto b) e c) del primo problema
Al punto b) c'è lo studio di funzione con radice pari standard e verifica che il grafico della funzione coincide con la semicirconferenza nel semipiano con ordinata positiva. Viene poi richiesto di dire perché la funzione non è invertibile e trovare l'intervallo massimo di invertibilità con relativa espressione analitica dell'inversa. Al punto c) si chiede di trovare le coordinate di un punto sul grafico della funzione in modo che il quadrilatero individuato con le proiezioni abbia area massima (esplicitare l'area in funzione di una delle due coordinate sfruttando l'espressione analitica della funzione g e trovarne il valore massimo). Infine si richiede di verificare che il quadrilatero è un quadrato e che il perimetro è pure massimo. La difficoltà è media. Al punto c'è lo studio di una funzione integrale e l'equazione retta tangente nel punto di flesso (difficoltà medio-alta).
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Il secondo problema allo Scientifico
Il problema numero 2 inizia con il punto a) che verte sull'identificazione dell'equazione di due funzioni dato il grafico e alcune informazioni su di esse. È possibile utilizzare le informazioni presenti nel punto b) e c) per poter controllare i risultati del punto a). Conoscere le proprietà del rapporto aureo può essere utile per la risoluzione.Il punto b) richiede di studiare una delle due funzioni precedentemente trovate con i metodi standard e di trovarne l'immagine, operazione che può risultare ostica. Vengono infine chieste il numero di intersezioni della funzione (che risulta essere un polinomio moltiplicato per una funzione esponenziale) con una retta orizzontale al variare dell'altezza di quest'ultima. Anche in questo caso si potrebbero incontrare delle difficoltà nel risolvere l'equazione associata. Nel punto c) vengono fatte alcune domande sull'altra funzione e si chiede di dimostrare alcune proprietà geometriche dei segmenti ottenuti collegando zeri, punti di intersezione, massimi e minimi delle curve. Il tutto risolvibile tramite nozioni di calcolo differenziale e di geometria nel piano (retta passante per due punti). Infine, nel punto d) vengono chieste alcune informazioni sulle aree comprese tra curve e assi; per risolvere questo punto è necessario risolvere degli integrali definiti (anche con estremo variabile). Il problema si presenta di difficoltà piuttosto alta soprattutto in vista dei numerosi calcoli da svolgere
Come risolvere il primo e il secondo quesito
Il primo quesito chiede di dimostrare la congruenza tra due segmenti costruiti con una certa proporzione. Per la risoluzione sono necessarie nozioni sull'uso delle coordinate, della geometria euclidea e delle simmetrie. Difficoltà medio-alta. Il secondo quesito riguarda lo stabilire la posizione reciproca tra una sfera e un piano π, al variare di un parametro reale. Si risolve controllando se la distanza tra il centro della sfera e il piano è minore del raggio della sfera (secante), uguale al raggio della sfera (tangente), maggiore al raggio della sfera (esterna). Infine, dobbiamo cercare il parametro affinché il piano sia diviso in parti uguali, tramite il calcolo delle aree. Il quesito risulta di difficoltà media.
Come risolvere il terzo e il quarto quesito
Il terzo quesito riguarda lo studio di una funzione definita a tratti con dominio [-1, 2], di cui si richiede il tracciamento del grafico e l'analisi della continuità e della derivabilità all'interno del dominio di definizione. La funzione a tratti è composta da una prima parte, rappresentata da una parabola, la cui analisi risulta semplice, e da una seconda parte, più complessa, costituita da una funzione trigonometrica, in particolare una tangente. L'analisi della continuità e della derivabilità, alla luce delle definizioni teoriche, risulterà più semplice. Il quarto quesito chiede la determinazione dell'equazione della retta normale a una curva in un punto specifico. Per la risoluzione è necessaria la conoscenza del calcolo differenziale e, in particolar modo delle regole di derivazione di funzioni trigonometriche e di un prodotto di funzioni, oltre alle nozioni di geometria relative alle curve trigonometriche ed alle rette. In sostanza il quesito presenta un grado di difficoltà medio-basso con una sufficiente conoscenza delle nozione sopracitate.
Come risolvere il quinto e il sesto quesito
Il quinto quesito riguardante la condizione di tangenza tra le curve, è fondamentale conoscere le proprietà delle funzioni logaritmiche ed esponenziali, le derivate delle funzioni richieste ed avere competenze algebriche che permettano la risoluzione dei sistemi di equazioni. Il livello di difficoltà è medio, esercizio non particolarmente complesso, ma bisogna avere delle conoscenze di base per svolgerlo e mantenere una logica consequenziale nello svolgimento. Nel quesito 6 viene chiesto di costruire una funzione polinomiale che soddisfi le condizioni di tangenza con una retta data in un punto e che il risultato dell'integrale definito di tale funzione polinomiale restituisca uno specifico risultato. La difficoltà nella risoluzione è media se le nozioni sopracitate sono state acquisite con sufficienza.
Come risolvere il settimo e l'ottavo quesito
Il quesito numero 7 è un problema standard di calcolo delle probabilità associate al lancio di dadi.Unica differenza (che non complica il quesito) rispetto al solito è la presenza di dadi a 4 facce. La difficoltà è medio-bassa e si risolve con le nozioni standard di calcolo delle probabilità. Il quesito 8 è relativo al calcolo combinatorio: bisogna calcolare le permutazioni tenendo conto delle ripetizioni. Livello medio-basso, esercizio non particolarmente complesso, tuttavia è necessario conoscere le formule relative ai calcoli richiesti per poter svolgere il quesito e soprattutto avere competenze logiche nei ragionamenti.
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