Seconda prova Maturità 2024 al liceo scientifico, le soluzioni a problemi e quesiti

La seconda prova di matematica della maturità 2024

I problemi

Entrambi i problemi di matematica sottoposti ai maturandi del liceo scientifico 2024 sono due classici studi di funzione. Il primo ha un'impostazione classica e non presenta alcun riferimento alla realtà. Il secondo, invece, pur conservando un'impostazione classica riporta due frasi che vogliono aiutare a contestualizzare il problema, senza entrare poi nello svolgimento pratico.

I quesiti

Gli 8 quesiti di matematica vertono invece su analisi matematica, calcolo delle probabilità, geometria piana e analitica. Non mancano in questo caso riferimenti alla realtà: dal triangolo isoscele alla moneta truccata, passando per la descrizione matematica dell'orbita della Terra intorno al Sole e una citazione di Gadda che, nei racconti de “L'Adalgisa - Disegni milanesi”, descrive minuziosamente le mattonelle di forma esagonale indicandone le dimensioni e la disposizione. Come sottolinea Skuola.net, è la seconda volta in pochi anni che alla maturità scientifica compaiono le piastrelle: già nel 2018 lo studio di funzioni da sviluppare nel primo problema prendeva spunto da una macchinario impegnato nella produzione di piastrelle (in quel caso di forma quadrata).

La prima frase contenuta in una delle tracce appartiene al matematico italiano Ennio De Giorgi: "All'inizio e alla fine, abbiamo il mistero...A questo mistero la matematica ci avvicina, pur senza penetrarlo". La seconda frase è stata, invece, prounciata dal matematico britannico Hardy: "Le forme create dal matematico, come quelle create dal pittore o dal poeta, devono essere belle: le idee, come i colori o le parole, devono legarsi armoniosamente. La bellezza è il requisito fondamentale: al mondo non c'è posto perenne per la matematica brutta".  

Le soluzioni della seconda prova di matematica 2024

I due problemi

Il primo problema riguarda lo studio di una funzione con due parametri. Si tratta di un problema standard per la seconda prova di matematica, di difficoltà normale.
Nel primo punto bisogna trovare l'equazione di una retta tangente al grafico della funzione. Successivamente, è necessario svolgere lo studio di funzione una volta fissati i parametri e, ancora, lavorare sulle rette tangenti e le loro intersezioni con il grafico della funzione. Infine, tramite un integrale definito, il candidato deve trovare l'area compresa tra il grafico della funzione e alcune rette caratteristiche (un asintoto obliquo e una delle tangenti trovate precedentemente).

Il secondo problema appare abbastanza insidioso: non è mai così semplice trovare i punti di non derivabilità di una funzione. In questo caso non viene chiesto di studiare una funzione in particolare, bensì un insieme di funzioni definite da un insieme di parametri. Per la risoluzione dell'ultimo punto è necessario conoscere la nozione di primitiva e saper calcolare l'area compresa tra delle curve.

Gli 8 quesiti

Di seguito invece le soluzioni agli 8 quesiti sottoposto ai maturandi del liceo scientifico per la maturità 2024. Le analisi sono di Skuola.net.

Quesito 1 - Si tratta di un problema dimostrativo di geometria euclidea, che non richiede necessariamente conoscenze di livello trigonometrico per farlo. Un elemento a cui bisogna prestare attenzione è la presenza del "se e solo se", che richiede di dividere la dimostrazione in due parti. Il quesito risulta di difficoltà media.
Quesito 2 - Riguarda il calcolo della distribuzione della probabilità in caso di prove ripetute e non dipendenti con soli due risultati possibili (distribuzione di Bernoulli). Il secondo punto rappresenta invece un problema di ottimizzazione, che prevede l'applicazione della derivata prima rispetto a p della funzione e del calcolo dei punti di massimo (derivata uguale a 0). Data la varietà di nozioni necessarie per lo svolgimento, il quesito è di difficoltà medio-alta.
Quesito 3 – In questo caso si tratta di un problema di geometria nello spazio di media difficoltà. Per la risoluzione è necessario conoscere le nozioni di proiezione ortogonale di un punto su un piano data la sua equazione e bisogna essere in grado di trovare una intersezione tra una retta e un piano entrambi scritti in forma cartesiana.
Quesito 4 – Il quesito, di difficoltà media, ruota attorno alle caratteristiche delle funzioni continue, nozioni relative ai principali teoremi (teorema esistenza degli zeri). Il candidato deve quindi dimostrare l'esistenza e unicità della soluzione.
Quesito 5 – In questo caso lo studente deve tradurre le condizioni sulla funzione e sulla sua derivata prima al fine di creare un sistema di equazioni di primo grado per individuare l'espressione dell'equazione. È necessario, anche, conoscere la definizione di punto stazionario.
Quesito 6 – Si tratta si risolvere un integrale definito tra una variabile il cui valore viene assegnato successivamente e un parametro 'a' del quale deve essere ricercato il massimo valore, secondo la condizione F(2x)=-12. La funzione integrale può essere risolta ricorrendo all'uso dell'integrale notevole: cos[f(x)]*f'(x) dx= sin[f(x)]. Il quesito è di difficoltà medio-alta.
Quesito 7 - Per risolvere questo quesito è importante avere delle conoscenze di geometria analitica. Conoscere le leggi di Keplero non è essenziale ma può agevolare nella risoluzione. Infine, è fondamentale conoscere l'equazione dell'ellisse e soprattutto come ricavarla partendo dai semiassi (maggiore e minore che corrispondono ad afelio e perielio).
Quesito 8 – Qui si richiede allo studente di trovare il rapporto tra l'apotema di un esagono e il raggio della circonferenza circoscritta ad esso. È possibile utilizzare diversi approcci, per esempio un approccio di tipo trigonometrico. Nel complesso, il quesito è di difficoltà presunta medio-bassa.